chiziqli uzluksiz operatorlar

PDF 7 pages 154.1 KB Free download

7 pages

FaylHub.uz

Download via Telegram

Size 154.1 KB

File type PDF

Pages 7

Updated Dec 2025

Page preview (5 pages)

Scroll down 👇

1 / 7

7- § . chiziqli uzluksiz operatorlar biz asosan chiziqli operatorlarni qaraymiz. chiziqli operatorlarning aniqla- nish sohasi va qiymatlar to‘plami chiziqli normalangan fazolarning qism fazolari bo‘ladi. shunday qilib, bizga x va y chiziqli normalangan fazolar berilgan bo‘lsin. 7.1-ta’rif. x fazodan olingan har bir x elementga y fazoning yagona y elementini mos qo‘yuvchi ax = y (x ∈ x, y ∈ y ) akslantirish operator deyiladi. umuman a operator x ning hamma yerida aniqlangan bo‘lishi shart emas. bu holda ax mavjud va ax ∈ y bo‘lgan barcha x ∈ x lar to‘plami a operatorning aniqlanish sohasi deyiladi va d(a) bilan belgilanadi, ya’ni: d(a) = {x ∈ x : ax mavjud va ax ∈ y } odatda d(a) ning chiziqli ko‘pxillilik (26.6-ta’rifga qarang) bo‘lishi talab qilinadi, ya’ni agar x, y ∈ d (a) bo‘lsa, u holda ixtiyoriy α, β ∈ c lar uchun αx+ β y ∈ d (a) bo’ladi. 7.2-ta’rif. agar ixtiyoriy …

2 / 7

(a) uchun ‖ax‖ ≤ c · ‖x ‖ (7.3) tengsizlik bajarilsa, a chegaralangan operator deyiladi. 7.11-ta’rif. (7.3) tengsizlikni qanoatlantiruvchi c sonlar to‘plamining aniq quyi chegarasi a operatorning normasi deyiladi va u ‖a ‖ bilan belgilanadi, ya’ni ‖a‖ = inf c. bu ta’rifdan ixtiyoriy x ∈ d (a) uchun ‖ax ‖ ≤ ‖a ‖ · ‖x ‖ tengsizlik o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. 7.1-teorema. x normalangan fazoni y normalangan fazoga akslantiruvchi chiziqli chegaralangan a operatorning normasi ‖a ‖ uchun ‖a‖ = sup ‖x‖=1 ‖ax ‖ = sup x 6=θ ‖ax ‖ ‖x‖ (7.4) tenglik o‘rinli. isbot. quyidagicha belgilash kiritamiz α = sup x 6=θ ‖ax ‖ ‖x‖ . a chiziqli operator bo‘lgani uchun α = sup x 6=θ ‖ax ‖ ‖x‖ = sup x 6=θ ∥∥∥∥a x ‖x‖ ∥∥∥∥ = sup ‖x‖=1 ‖ax ‖ . ixtiyoriy x 6= 0 uchun ‖ax ‖ ‖x ‖ ≤ α. 3 demak, ixtiyoriy x ∈ x …

3 / 7

· ‖x ‖ ≤ (‖a ‖+ ‖b ‖) ‖x ‖ . bu yerdan (7.8) tengsizlik kelib chiqadi. 7.13-ta’rif. a chiziqli operatorning α songa ko‘paytmasi x elementga αax elementni mos qo‘yuvchi operator sifatida aniqlanadi, ya’ni (αa)(x) = αax. 7.14-ta’rif. a : x → y va b : y → z chiziqli operatorlar berilgan bo‘lib, r(a) ⊂ d(b) bo‘lsin. b va a operatorlarning ko‘paytmasi deganda, har bir x ∈ d(a) ga z fazoning z = b(ax) elementini mos qo‘yuvchi c = ba : x → z operator tushuniladi. agar a va b lar chiziqli chegaralangan operatorlar bo‘lsa, u holda c ham chiziqli chegaralangan operator bo‘ladi va ‖c‖ ≤ ‖b‖ · ‖a‖ (7.9) tengsizlik o‘rinli. haqiqatan ham, ‖cx ‖z = ‖b(ax) ‖z ≤ ‖b ‖ · ‖ax ‖y ≤ ‖b ‖ · ‖a ‖ · ‖x ‖x . bu yerdan (7.9) tengsizlik kelib chiqadi. operatorlarni qo‘shish va ko‘paytirish assotsiativdir. qo‘shish amali kommutativ, lekin …

4 / 7

z qilaylik, a chiziqli operator uzluksiz bo‘lsin, lekin chegaralangan bo‘lmasin, ya’ni ixtiyoriy c > 0 son uchun shunday xc ∈ d(a) element mavjud bo‘lib, ‖axc ‖ ≥ c ‖xc ‖ bo‘lsin. agar c = n ∈ n desak, ixtiyoriy n ∈ n uchun shunday xn ∈ d(a) mavjudki, ‖axn ‖ ≥ n ‖xn ‖ tengsizlik bajariladi. quyidagi ξn = x n ‖xn‖ 6 ketma-ketlikni qaraymiz. ko‘rinib turibdiki, ξn → θ , ya’ni ‖ξn − θ ‖ = ∥∥∥∥ xn n ‖xn‖ ∥∥∥∥ = 1 n ‖xn ‖ ‖xn‖ = 1 n → 0, n→∞. ikkinchi tomondan, ‖aξn − aθ ‖ = ∥∥∥∥a( xn n ‖xn‖ )∥∥∥∥ = ∥∥∥∥ 1 n ‖xn ‖ axn ∥∥∥∥ = 1 n ‖xn‖ ‖axn‖ ≥ 1. bu qarama-qarshilik a operatorning chegaralangan ekanligini ko‘rsatadi. 3) =⇒ 1). a chiziqli chegaralangan operatorning biror nuqtada uzluk- sizligini ko‘rsatamiz. ta’rifga ko‘ra, shunday c > 0 son mavjudki, ixtiyoriy x …

5 / 7

Want to read more?

Download all 7 pages for free via Telegram.

Download full file

About "chiziqli uzluksiz operatorlar"

7- § . chiziqli uzluksiz operatorlar biz asosan chiziqli operatorlarni qaraymiz. chiziqli operatorlarning aniqla- nish sohasi va qiymatlar to‘plami chiziqli normalangan fazolarning qism fazolari bo‘ladi. shunday qilib, bizga x va y chiziqli normalangan fazolar berilgan bo‘lsin. 7.1-ta’rif. x fazodan olingan har bir x elementga y fazoning yagona y elementini mos qo‘yuvchi ax = y (x ∈ x, y ∈ y ) akslantirish operator deyiladi. umuman a operator x ning hamma yerida aniqlangan bo‘lishi shart emas. bu holda ax mavjud va ax ∈ y bo‘lgan barcha x ∈ x lar to‘plami a operatorning aniqlanish sohasi deyiladi va d(a) bilan belgilanadi, ya’ni: d(a) = {x ∈ x : ax mavjud va ax ∈ y } odatda d(a) ning chiziqli ko‘pxillilik (26.6-ta’rifga qarang) …

This file contains 7 pages in PDF format (154.1 KB). To download "chiziqli uzluksiz operatorlar", click the Telegram button on the left.

Tags: chiziqli uzluksiz operatorlar PDF 7 pages Free download Telegram