darajali qatorlarning differensial tenglamalarga tadbiqlari.

DOCX 28 sahifa 848,9 KB Bepul yuklash

28 sahifa

FaylHub.uz

Telegram orqali yuklab olish

Hajm 848,9 KB

Fayl turi DOCX

Sahifalar 28

Yangilangan Dek 2025

Sahifa ko'rinishi (5 sahifa)

Pastga aylantiring 👇

1 / 28

darajali qatorlarning differensial tenglamalarga tadbiqlari. aytaylik, (2.1.1) differensial tenglamaning ushbu , (2.1.2) boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini toppish talab qilinsin. agar , , funksiyalarni nuqtaning biror atrofida shu funksiyalarga yaqinlashuvchi ko'rinishida ifodalash mumkin bo’lsa, unda yuqoridagi koshi masalasi yagona yechimga ega bo’lib uni (2.1.3) ifodalash mumkin. (2.1.3)-qatordagi noma’lum koeffitsientlarni toppish uchun (2.1.1) tenglamadagi lar o’rniga ularning yoyilmalari olib borib qo’yiladi va noma’lum koeffitsientlar usulidan foydalaniladi. 1-misol. (2.1.4) tenglamaning ushbu (2.1.5) boshlang'ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimni toping. (2.1.4) tenglamaning yechimini (2.1.6) ko’rinishda qidiramiz. unda bo'lib, (2.1.4)-tenglama quyidagi ko’rinishga keladi: . bu tenglikdagi x ning mos darajalari oldidagi mos koeffitsientlarni tenglash yordamida (2.1.7) rekkurent formulani hosil qilamiz. bo’lganligi sababli bu rekkurent formuladan va umuman ekanligini topamiz. shu formuladan yana tengliklar o’rinli bo’lishi kelib chiqadi. (2.1.5)-shartlar va (2.1.6)-tenglikdan . demak, (2.1.4)-tenglamaning (2.1.5)-shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi quyidagi ko’rinishga ega ekan [5]. endi quyidagi ikkinchi tartibli tenglamani qaraymiz [7-8]: (2.1.8) faraz qilaylik, (2.1.8) tenglamaning va koeffitsientlari inter-valda analitik …

2 / 28

lgusida aniqlanishi lozim bo`lgan koeffitsientlar. (2.1.10) dan va ni ketma-ket topib , so`ngra va ning ifodalarini (2.1.8) tenglamaga qo`yamiz: shu yerda matematik analiz kursidan ma`lum bo`lgan darajali qatorlarni ko`paytirish formulasidan foydalanamiz: hosil bo`lgan oxirgi tenglamada darajalar oldidagi koeffitsient-larni nolga tenglab, natijada noma`lum koeffitsientlarni aniqlash uchun rekurrent tenglamalar sistemasiga ega bo`lamiz: (2.1.11) va koeffitsientlarga ixtiyoriy qiymatlar berish mumkin (ulardan kamida bittasi noldan farqli bo`lishi lozim, aks holda yechim hosil bo`ladi). va koeffitsientlarga aniq qiymatlarni berib, (2.1.8) tenglamaning boshlang’ich shartlarni qanoatlantiradigan yechimini izlaymiz. birinchi tenglamadan ni, ikkinchi tenglamadan ni va h.k. aniqlaymiz. agar (2.1.8) tenglamada va - ratsional funksiyalar, ya`ni bo`lsa (,- ko`phadlar), u holda yoki bo`lgandagi nuqtalar (2.1.8) tenglamaning maxsus nuqtalari deyiladi. ikkinchi tartibli (2.1.12) tenglamada va funksiyalar oraliqda analitik bo`lsin. bu tenglama uchun nuqta maxsus nuqta bo`ladi, va funksiyalarni darajali qatorga yoyganda yoki koeffitsientlardan faqat bittasigina noldan farqli bo`ladi. bu maxsus nuqtaning eng sodda misoli bo`lib, bunday nuqta regulyar maxsus …

3 / 28

va, demak, yuqorida ko`rsatilgan usul bilan (2.1.8) tenglamaning o`zaro chiziqli bog’liq siz ikkita va yechimlarini qurish mumkin. agar ayirma butun son bo`lsa, u holda yuqorida ko`rsatilgan usul bilan bitta yechimni umumlashgan darajali qator ko`rinishida topish mumkin. bu yechimni bilgan holda liuvill-ostrogradskiy formulasi yordamida bilan chiziqli bog’liqsiz bo`lgan ikkinchi yechimni topish mumkin: (2.1.16) bu formuladan yechimni ko`rinishda izlash kerakligi kelib chiqadi ( soni nolga teng bo`lishi ham mumkin). quyidagi masalalarda berilgan tenglamalarning chiziqli bog’liqsiz yechimlarini darajali qatorlar ko`rinishida toping. topilgan qatorning yig’indisini imkoni boricha elementar funksiyalar yordamida ifodalang (2-6 misollar) [7-8]. 2-misol. funksiyalar da analitik va bo`lganligi uchun analitik yechim mavjud. bu yechimni (3) ko`rinishda izlaymiz va uni berilgan tenglamaga qo`yib, quyidagi ayniyatni olamiz: , yoki bu yerdan, ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsientlarni bir-biriga tenglashtirib, koeffitsientlarni aniqlash uchun rekurrent munosabatlarga ega bo`lamiz: aytaylik, bo`lsin, u holda shunga asosan, . shunga o`xshash, agar bo`lsa, u holda va tegishli yechim ko`rinishda bo`ladi. …

4 / 28

rent munosabatlarga ega bo`lamiz: aytaylik, bo`lsin, u holda demak, , ya`ni shunga o`xshash, agar bo`lsa, u holda shuning uchun , ya`ni , funksiyalar da ham berilgan tenglamaning yechimlari bo`lishini tekshirib ko`rish qiyin emas.► 4-misol. bu tenglamani yechishda , yoyilmadan foydalanamiz va yechimni ko`rinishda izlaymiz. yuqoridagi mulohazalarni takrorlab, koeffitsientlarni aniqlash uchun tenglamalar sistemasini tuzamiz: agar deb olsak, u holda demak, . shunga o`xshash, agar bo`lsa, u holda va tegishli yechim ko`rinishda bo`ladi.► 5-misol. ushbu tenglamalarning yechimlarini darajali (yoki umumlashgan darajali) qatorlar ko`rinishida toping. bu tenglamaning koeffitsienti da nolga teng bo`lganligi uchun berilgan tenglamaning (2.1.17) umumlashgan darajali qator ko`rinishidagi kamida bitta notrivial yechimi mavjud. qatorni tenglamaga qo`yib va ning darajalari oldidagi koeffitsientlarni bir-biriga tenglashtirib, quyidagi sistemani olamiz: . bo`lsin. bu holda aniqlovchi tenglamadan topamiz: so`ngra, ushbu rekurrent formuladan (2.1.17) umumlashgan darajali qatorning koeffitsientlarini topamiz. agar bu formulada deb olsak, u holda bo`lib, tegishli yechim , ko`rinishda bo`ladi. xuddi shunga o`xshash, da bo`ladi …

5 / 28

eoremasining isboti avval (1.3) boshlang’ich shartni qanoatlantiradigan va oraliqda aniqlangan yechimning mavjudligini, so’ngra bu yechimning yagonaligini isbotlaymiz. isbotga bevosita o’tishdan avval ba’zi yordamchi tasdiqlarga to’xtalamiz. soxada markazi nuqtada bo’lgan hamda chegarasi bilan butunlay shu soxada joylashgan biror to’g’ri to’rtburchak chizish mumkin (buning isboti o’quvchiga havola etiladi). uning garizontal tomoni uzunligini vertikal tomoni uzunligini esa deb belgilaylik, bunda va lar musbat chekli sonlar. shunday qilib, bo’lib yopiq chegaralangan to’plam. da uzluksiz bo’lgan funksiya da ham uzluksiz bo’ladi. yopiq, chegaralangan bo’lgani uchun unda chegaralangan bo’ladi, ya’ni. agar bo’lsa, bo’ladi. bu holda uchun (1.1) tenglama soddagina ko’rinishni oladi. bu tenglamaning boshlang’ich shartni nqanoatlantiradigan yechimi kabi yoziladi. bunday yechim yagona ekan ravshan. endi bo’lsin. shu to’g’ri to’rtburchakning ixtiyoriy va nuqtalari uchun ham tengsizlikning bajarilishi ravshan (1.2-teoremalarning shartlariga ko’ra). qayd qilamizki nuqta to’g’ri to’rtburchakning markazidan iborat. endi (1.1) differentsial tenglamaning (1.3) boshlang’ich shartini qanoatlantiradigan va oraliqda aniqlangan yana yechimning mavjudligini isbotlaymiz. buning uchun birinchi qadam …

Ko'proq o'qimoqchimisiz?

Barcha 28 sahifani Telegram orqali bepul yuklab oling.

To'liq faylni yuklab olish

"darajali qatorlarning differensial tenglamalarga tadbiqlari." haqida

darajali qatorlarning differensial tenglamalarga tadbiqlari. aytaylik, (2.1.1) differensial tenglamaning ushbu , (2.1.2) boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini toppish talab qilinsin. agar , , funksiyalarni nuqtaning biror atrofida shu funksiyalarga yaqinlashuvchi ko'rinishida ifodalash mumkin bo’lsa, unda yuqoridagi koshi masalasi yagona yechimga ega bo’lib uni (2.1.3) ifodalash mumkin. (2.1.3)-qatordagi noma’lum koeffitsientlarni toppish uchun (2.1.1) tenglamadagi lar o’rniga ularning yoyilmalari olib borib qo’yiladi va noma’lum koeffitsientlar usulidan foydalaniladi. 1-misol. (2.1.4) tenglamaning ushbu (2.1.5) boshlang'ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimni toping. (2.1.4) tenglamaning yechimini (2.1.6) ko’rinishda qidiramiz. unda bo'lib, (2.1.4)-tenglama quyidagi ko’rin...

Bu fayl DOCX formatida 28 sahifadan iborat (848,9 KB). "darajali qatorlarning differensial tenglamalarga tadbiqlari."ni yuklab olish uchun chap tomondagi Telegram tugmasini bosing.

Teglar: darajali qatorlarning differens… DOCX 28 sahifa Bepul yuklash Telegram