применение определенных интегралов в экономике

DOCX 18 pages 364.9 KB Free download

18 pages

FaylHub.uz

Download via Telegram

Size 364.9 KB

File type DOCX

Pages 18

Updated Dec 2025

Page preview (5 pages)

Scroll down 👇

1 / 18

тема 7. применение определенных интегралов в экономике. план: 1. определенный интеграл. вычисление поверхности, длину дуги и объемы тела по вращению с помощью определенного интеграла. 2. приложения интегрального исчисления в экономике. 3. коэффициент неравномерности распределения доходов. 4. модель вильсона в управлении ресурсами. 1. определенный интеграл. вычисление поверхности, длину дуги и объемы тела по вращению с помощью определенного интеграла. пусть функция f(x) задана на отрезке [а, b]. разобьем отрезок [а, b] на п произвольных частей точками: выберем в каждом из частичных отрезков [xi, xi+1] произвольную точку ξi: теперь образуем сумму произведений: которую будем называть интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [а, b]. геометрический смысл величины σ указан на рис. 7.1: это сумма площадей прямоугольников с основаниями δxi и высотами f(ξi) (i = 1, 2, ..., п). введем еще одну величину. обозначим через λ длину макcимального частичного отрезка данного разбиения: определение. конечный предел i интегральной суммы σ при λ → 0, если …

2 / 18

имеет конечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке. теорема 3. монотонная на отрезке [а, b] функция f(x) интегрируема на этом отрезке. 1.2. основные свойства определенного интеграла 1. интеграл был определен для случая, когда a < b. обобщим понятие определенного интеграла и на другие случаи. по определению полагаем как определенный интеграл на отрезке нулевой длины. также по определению полагаем, что поскольку при движении от b к а все длины частичных отрезков δxi = xi-1 — xi имеют отрицательный знак в интегральной сумме (7.1). 2. для любых чисел а, b и с имеет место равенство 3. постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: 4. определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их определенных интегралов: заметим, что свойство 4 имеет место для любого конечного числа слагаемых. будем полагать далее, что а < b. 5. если функция f(x) ≥ 0 всюду на отрезке [а, b], то 6. если …

3 / 18

b) — f(a) условно записывают символом f(x), т.е. формула (7.11) дает широкие возможности вычисления определенных интегралов. нужно вычислить неопределенный интеграл и затем найти разность значений первообразной согласно (7.11). рассмотрим примеры вычисления определенных интегралов. 1.4. основные правила интегрирования замена переменной в определенном интеграле теорема 5. пусть: 1) f(x) — непрерывная функция на отрезке [а, b]; 2) функция φ(t) дифференцируема на [α, β], причем φ'(t) непрерывна на [α, β] и множеством значений функции φ(t) является отрезок [а, b], 3) φ(α) = а, φ(β) = b. тогда справедлива формула формула (7.12) называется формулой замены переменной или подстановки в определенном интеграле. заметим, что при вычислении определенного интеграла с помощью замены переменной нет нужды возвращаться к прежней переменной, как это делалось при вычислении неопределенного интеграла, так как определенный интеграл представляет собой число, которое согласно формуле (7.12) равно значению каждого из рассматриваемых интегралов. теперь при подстановке следует сначала найти новые пределы интегрирования и затем выполнить необходимые …

4 / 18

= tg х. тогда t = 0 при х = 0 и t = 0 при х = π, х = arctg t, т.е. dx = dt / (l + t2). подстановка в исходный интеграл дает полученное противоречие объясняется тем, что функция замены переменной t = tg x имеет разрыв при х = π/2 и не удовлетворяет условию 2 теоремы 7.5. интегрирование по частям в определенном интеграле теорема 6. пусть функции и(х) и v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [а, b]; тогда справедлива формула равенство (7.13) называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле. рассмотрим ряд примеров вычисления определенных интегралов методом интегрирования по частям. решение. положим здесь и = х, v = e-x, тогда dv = -e-xdx и решение. здесь и = х, sin x dx = dv или v = - cos x; далее по формуле (7.13) имеем 1.5. геометрические приложения определенного интеграла площадь плоской фигуры рассмотрим на плоскости …

5 / 18

(рис. 7.4), дается определенным интегралом на отрезке [0,1]: объем тела вращения рассмотрим тело, которое образуется при вращении вокруг оси ох криволинейной трапеции, ограниченной сверху непрерывной и положительной на отрезке [а, b] функцией f(x) (рис. 7.5). объем этого тела вращения определяется формулой если тело образовано вращением криволинейной трапеции вокруг оси оу, то, выражая х через у как обратную функцию, мы можем получить аналогичным образом формулу для объема тела вращения: где [c, d] — область изменения функции у = f(x). рассмотрим примеры вычисления объемов тел, образованных вращением фигур, ограниченных следующими линиями. пример 3. у = х2, у = вокруг оси ох. решение. искомый объем вращения равен разности объемов, образованных вращением криволинейных трапеций с верхними границами соответственно у = и у = х2. пределы интегрирования определяются по точкам пересечения этих кривых: а = 0 и b = 1. по формуле (7.15) получаем пример 4. у = eх, х = 0, х = 1, …

Want to read more?

Download all 18 pages for free via Telegram.

Download full file

About "применение определенных интегралов в экономике"

тема 7. применение определенных интегралов в экономике. план: 1. определенный интеграл. вычисление поверхности, длину дуги и объемы тела по вращению с помощью определенного интеграла. 2. приложения интегрального исчисления в экономике. 3. коэффициент неравномерности распределения доходов. 4. модель вильсона в управлении ресурсами. 1. определенный интеграл. вычисление поверхности, длину дуги и объемы тела по вращению с помощью определенного интеграла. пусть функция f(x) задана на отрезке [а, b]. разобьем отрезок [а, b] на п произвольных частей точками: выберем в каждом из частичных отрезков [xi, xi+1] произвольную точку ξi: теперь образуем сумму произведений: которую будем называть интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [а, b]. геометрический смысл величины σ указан на рис. 7.1: эт...

This file contains 18 pages in DOCX format (364.9 KB). To download "применение определенных интегралов в экономике", click the Telegram button on the left.

Tags: применение определенных интегра… DOCX 18 pages Free download Telegram